هندسه مثبت، زبان تازه‌ای برای توصیف طبیعت

پیوند میان ریاضی و فیزیک همیشه نقشی اساسی در پیشرفت علم داشته است. اکنون پژوهشگران کلودیا فولا و آنا-لورا ساتلبرگر با تمرکز بر هندسه مثبت و ریاضیات جبری تلاش دارند تا دریچه‌ای تازه به فهم جهان بگشایند.

به گزارش دیتاسنتر من و به نقل از سایتک‌دیلی، نتایج پژوهش آنها که در نشریه «Notices of the American Mathematical Society» منتشر شده، نشان می‌دهد این رویکرد می‌تواند هم رفتار ذرات بنیادی و هم ساختارهای کیهانی را تبیین کند.

در فیزیک ذرات، نمودارهای فاینمن مدت‌ها ابزاری کلیدی برای توصیف برهم‌کنش‌ها بوده‌اند. با این حال، هندسه مثبت چارچوبی مکمل ارائه می‌دهد که به جای نمودار، از اشکال و فضاهای هندسی برای بازنمایی فرایندهای پیچیده استفاده می‌کند. یکی از نمونه‌های برجسته، «آمپی‌توهدرون» است که در سال ۲۰۱۳ معرفی شد و برهم‌کنش‌های ذرات را به‌صورت حجم‌های هندسی کدگذاری می‌کند. این روش علاوه بر سادگی محاسبات، راهی جدید برای فهم احتمالات پراکندگی ذرات فراهم می‌آورد.

کاربردهای این هندسه فراتر از فیزیک ذرات است. در کیهان‌شناسی، مفاهیمی چون «پلی‌توپ‌های کیهانی» به پژوهشگران امکان می‌دهند آثار نخستین نور کیهان و ساختار مقیاس‌کلان کهکشان‌ها را تحلیل کنند. این روش‌ها می‌توانند قوانین بنیادی حاکم بر جهان پس از مهبانگ را بازسازی کنند.

پایه‌های نظری این حوزه بر ریاضیات متنوعی استوار است: هندسه جبری که اشکال را از طریق معادلات چندجمله‌ای تعریف می‌کند، نظریه D-ماژول‌ها که ابزار تحلیل معادلات دیفرانسیل است، و ترکیبیات که آرایش‌ها و روابط بین این ساختارها را توضیح می‌دهد. چنین رویکردی حتی در بررسی انتگرال‌های فاینمن و توابع هم‌ارز آن‌ها در کیهان‌شناسی نظری کاربرد دارد و به دقت محاسبات در فیزیک انرژی‌های بالا کمک می‌کند.

این پژوهش بخشی از تلاشی جهانی است که با حمایت برنامه ERC Universe+ و همکاری دانشمندانی چون نیما ارکانی‌حامد و یوهانس هن پیش می‌رود. هدف این حرکت علمی، توسعه چارچوبی است که ریاضی و فیزیک را در سطحی بنیادی‌تر به هم پیوند دهد.

فولا و ساتلبرگر تأکید می‌کنند که هندسه مثبت تنها شاخه‌ای نوظهور از ریاضیات نیست، بلکه می‌تواند به زبانی مشترک برای توصیف طبیعت در همه مقیاس‌ها تبدیل شود. این حوزه در حال گسترش، علاوه بر باز کردن چشم‌اندازهای تازه در فیزیک نظری، خود ریاضیات را نیز به سمت شاخه‌های جدیدی سوق می‌دهد.